Il principio di equivalenza

Il principio d'equivalenza è il principio fondamentale su cui si basa la teoria della relatività generale ed era già noto a Galileo e a Newton.

Galileo fu il primo a formularlo nella forma della universalità della caduta libera dei gravi, cioè nel sostenere l'indipendenza della caduta dalla natura dei corpi. Nei "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai movimenti locali" pubblicati a Lieden nel 1638 nei scriveva:"…veduto, dico questo, cascai in opinione che se si levasse totalmente la resistenza del mezzo, tutte le materie discenderebbero con uguale velocità".

Galileo controbatteva l'asserto aristotelico secondo il quale i corpi più pesanti cadono più velocemente, affermando invece l'indipendenza dell'accelerazione dalla massa e dalla composizione del corpo e riconoscendo nella resistenza del mezzo la causa di ogni possibile differenza nei tempi di caduta dei gravi. Pur non essendo in grado di quantizzare la relazione tra la resistenza del mezzo e la velocità, egli intuì l'importanza di compiere esperimenti nei quali agisse solo una piccola componente dell'accelerazione di gravità ( egli eseguì esperimenti con i piani inclinati e con i pendoli), in modo da ridurre la velocità di caduta e, conseguentemente, l'influenza dell'aria.

La storica esperienza dei pesi lasciati cadere dalla torre di Pisa, attribuita erroneamente a Galileo, fu eseguita dal suo allievo, Vincenzo Ranieri, nel 1641. a previsione di Galileo su un oggetto sferico si basa sul fatto che il peso, forza agente, va con il cubo del raggio; l'attrito, forza resistente, va invece con il quadrato del raggio, poichè dipende dalla sezione normale del corpo. Quindi più il raggio cresce, più il peso domin asull'attrito: l'accelerazione tende al valore ideale detttao dalla gravità e il processo si avvicin aalla condizione di cauta libera nel vuoto.

Galileo propose, allo scopo di risalire al comportamento nel vuoto, di ripetere l'esperienza della caduta dei gravi in un mezzo gassoso via via meno denso. L'esperienza in condizioni di reale vuoto si può eseguire oggi in laboratorio oppure sulla luna, come dimostrato dagli astronauti americani per mezzo di una piuma e di un oggetto pesante.

Nel 1680, Newton espose il principio d'equivalenza in termini di forze e masse. Nel paragrafo di apertura dei "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" dove scriveva: "This quantity that I mean hereafter under the name of…mass…is known by the weight…for it is proportional to the weight as I have found by experiments on pendulums, very accurately made…".

Newton verificò l'equivalenza con l'accuratezza di una parte su mille con studi sul moto dei pendoli e ne fece un uso esplicito nello studio del moto dei satelliti gioviani. Le osservazioni astronomiche indicavano che i satelliti galileiani orbitavano intorno al grande pianeta come se il Sole non ci fosse: identificando la massa inerziale con la massa gravitazionale passiva, era possibile cancellare l'attrazione solare nel riferimento gioviano, in quanto si osservava che ogni corpo era attratto con la stessa accelerazione.

Le due asserzioni di Galileo e Newton sono nella realtà equivalenti: il moto in un campo gravitazionale è lo stesso per tutti i corpi poiché la forza agente è una manifestazione della massa gravitazionale mentre l'accelerazione prodotta è determinata dalla massa inerziale.

Nel 1907 Einstein formulò il "Principio di Equivalenza Debole" che successivamente generalizzò nel "Principio di Equivalenza Forte". Egli descrisse la situazione con un esperimento ideale (mentale), noto con il nome di ascensore di Einstein. In tale ascensore vi è un osservatore che non ha modo di conoscere quello che accade fuori e che verifica le seguente tre situazioni:

Se l'ascensore ha un'accelerazione g verso l'alto l'osservatore non riesce a capire se la cabina sia soggetta a un campo di forze apparenti (inerziali), ossia se la cabina sia tirata verso l'alto, oppure se sia soggetta a un campo di forze gravitazionali dovuta a un grande corpo massivo posto sotto di essa. Se sul razzo ci pesassimo su di una bilancia a molla, come accade in un treno in partenza, quindi soggetto ad accelerazione, il mio corpo apparirà spinto nella direzione opposta al moto. Nel razzo la bilancia misura il mio peso mg, identico al valore misurato sulla superficie della terra. Occorre pertanto concludere che l'accelerazione genera il peso. This image was copied from Nick Strobel's Astronomy Notes .

Per l'osservatore i corpi cadono nello stesso modo sia in un campo inerziale sia in un campo gravitazionale. Quindi conclude che per le leggi della meccanica i due campi sono equivalenti. E' per leleggi dell'elettromagnetismo?

Un esperimento con la luce. In una parete laterale della cabina viene praticato un foro da cui entra un pennello di luce. Se la cabina fosse in quiete nel vuoto, il pennello giungerebbe rettilineamente sulla parete opposta. Un ascensore che si muove verso l'alto con velocità costante è attraversato dalla luce che muovendosi in linea retta colpirebbe la parete opposta più in basso. Se la cabina ha un'accelerazione costante verso l'alto la traiettoria della luce, in questo caso apparirebbe parabolica all'osservatorie che viaggia sull'ascensore. In quest'ultimo caso la luce segua una traiettoria parabolica per una palla lanciata orizzontalmente.Quindi, sia nel caso in cui la cabina è soggetta a un campo di forze inerziali sia nel caso in cui è soggetta a un campo di forze gravitazionali, il pennello di luce subisce un'uguale deflessione dalla sua traiettoria rettilinea. L'osservatore dentro l'ascensore conclude allora che anche per le leggi dell'elettromagnetismo i due campi sono equivalenti.

Consideriamo ora l'ascensore in caduta libera, cioè l'ascensore a cui è stata tranciata la corda di sostegno. Un osservatore che, per sua disgrazia, si trovasse all'interno giudicherebbe di trovarsi in un sistema inerziale. Infatti, qualunque oggetto lasciato libero non si sposterebbe rispetto a lui, in quanto entrambi cadrebbero con la stessa accelerazione: nell'ascensore in caduta libera è come se la gravità non esistesse. Anche un satellite in orbita attorno alla terra è un sistema in cui la gravità è stata apparentemente eliminata, come le immagini che mostrano gli astronauti al lavoro ci confermano. Un ascensore in caduta libera senza attrito è per la meccanica classica un sistema di riferimento non inerziale, nel quale, oltre alla forza peso mg deve essere considerata anche la forza apparente -ma (detta anche forza inerziale), dove a=g è l'accelerazione del riferimento. Segue che la risultante delle forze è nulla e quindi che le forze apparenti cancellano la forza di gravità: un oggetto in quiete resterà in quiete e un oggetto in moto rettilineo uniforme continuerà a perseverare nel suo stato, proprio come sarebbe accaduto in un riferimento inerziale. Per il volo libero di una cometa e a Gardaland clicca qui.

Einstein giunge alla seguente conclusione "se dentro all' ascensore che sta precipitando verso il basso eseguo un qualsiasi esperimento di fisica, non potrò distinguerlo da un esperimento fatto in un riferimento inerziale lontanissimo da qualsiasi sorgente di forze gravitazionali".

"Tutti i riferimenti in caduta libera sono, per qualsiasi effetto fisico, equivalenti localmente a riferimenti inerziali." Per Einstein il moto naturale è quello di caduta libera. Un riferimento fermo in un campo gravitazionale è forzato a restare fermo; il riferimento inerziale è quello in caduta libera, che è cioè localmente non distinguibile da un riferimento inerziale come lo intende Newton, e cioè lontano da ogni sorgente di campo gravitazionale.

Sistema di riferimento inerziale = Sistema di riferimento in volo (o caduta) libero

Quindi, il princio di Equivalenza asserisce che localmente il moto di caduta libera non è distinguibile da un moto inerziale rettilineo e uniforme. Si ponga attenzione alla parola "localmente"; ovviamente i due tipi di moto sono diversi se considerati su estese regioni dello spazio e del tempo. Vediamo perchè:

Non località. L'equivalenza fra campo inerziale e gravitazionale è quantitativa, ovvero numerica, e locale. Infatti il campo inerziale è globalmente uniforme mentre il campo gravitazionale non lo è, come si può facilmente intuire pensando che le sue linee di forza convergono verso la sorgente. Per tale effetto e per quello mareale le particelle che giacciono su una stessa retta orizzontale si avvicinano mentre quelle che sono disposte radialmente si allontanano tra loro. Invece, seguendo il moto di una singola particella in un riferimento in volo libero non si deve riconoscere alcun indizio dell'esistenza della gravitazione. Pertanto soltanto osservando il moto relativo di due corpi è possibile rivelare e misurare la gravitazione dovuta a un corpo vicino.

Illusione e realtà

Si vede che la stessa freccia, lanciata partendo dallo stesso angolo nella medesima direzione con l'identica velocità, descrive moti diversi tra loor a seconda che venga studiata da un osservatore che ha un pavimento che spinge sotto i suoi piedi, o da un altro che è in caduta libera. Rispetto alla terra la freccia giunge nello stesso posto e nello stesso istante. Per Einstein la causa della traiettoria curva della freccia lanciata dall'osservatore fermo non risiede nella forza di gravità ma nell'osservatore stesso e nel pavimento che ci impedisce di seguire lo stato naturale del moto.

La metrica

Abbiamo osservato che il passare ad un sistema di riferimento non inerziale imita un campo gravitazionale. Vediamo com viene in tal caso alterato l'intervallo tra gli eventi.

Gli osservatori inerziali si trasmettono informazioni con trasformazioni di Lorentz. Il sistema di coordinate degli osservatori inerziali sono i sistemi inerziali o lorentziani.

Il passaggio da un SRI ad un altro non altera il quadrato della distanza tra due eventi vicini:

In forma tensoriale con x 0 =ct, x 1 = x, x 2 =y, x 3 = z, questa relazione può essere scritta:

tale matrice è il tensore metrico dello spazio-tempo pseudoeuclideo e ne definisce completamente la geometria. Ricordiamo che per uno spazio euclideo il tensore metrico è rappresentato con un a matrice unitaria, le cui componenti sono date dal delta di Kronecher.

Nel passare da un sistema inerziale ad uno non inerziale la (1) cambia la sua forma generale. Infatti, consideriamo ad esempio un sistema di coordinate K' che si muove lungo una retta con accelerazione uniforme a rispetto a K.

Si può mostrare che nessuna trasformazione temporale può ridurre la (2) alla somma algebrica dei quadrati dei differenziali delle quattro coordinate.

Pertanto, nel caso generale, il passaggio a sistemi non inerziali cambia l'espressione per l'intervallo invariante fra gli eventi in modo tale che non si può ridurlo alla forma (1). Scriviamo nel caso generale la metrica del quadrispazio come:

Il tensore metrico della (3) lo si ottiene risolvendo la (4) i cui termini di sinistra rappresentano la curvatura dello spazio mentre quelli di destra descrivono la distribuione nello spazio dell'energia e della quantità di moto (anche elettromagnetica). Le masse presenti sono incluse nell'energia totale (ricordiamoci che E=mc2).

La differenza tra la metrica (1) e la (3) è legata alla gravità e alle altre forme di energia non gravitazionale. Ad esempio, la metrica all'esterno di una massa M statica a simmetria sferica, usando le coordinate sferiche è la cosiddetta metrica di Schwarzchild (1916) data dalla (5):

Nella (6) è stata riportata, per fare un confronto, la metrica sulla superficie bidimensionale di una sfera nella geometria euclidea.

Masse antitetiche. La massa che interviene nelle forze inerziali rappresenta un attributo del corpo che si oppone al moto: a parità di forza tanto maggiore è la massa tanto minore è l'accelerazione. Invece la massa che compare nella legge di gravitazione è una proprietà caratteristica che provoca una forza e quindi un moto (*). Quindi in linea di principio queste due masse non dovrebbero coincidere, visto che descrivono proprietà dei corpi non solo diverse ma, addirittura antitetiche! Tuttavia, una serie di esperimenti, tra i più precisi mai realizzati, dimostrano l'identità delle due masse. Questo risultato va sotto il nome di principio di equivalenza. Esso è la chiave di volta della nuova teoria della gravità: siccome la forza di gravità è proporzionale alla massa gravitazionale, ma questa è uguale alla massa inerziale, la gravità ha la stessa natura delle forze inerziali e quindi può essere eliminata (come possono essere eliminate le forze inerziali) dalla descrizione della dinamica con un'opportuna scelta del sistema di riferimento.

(*) In effetti bisognerebbe distinguere tra massa gravitazionale attiva, la sorgente del campo, e la massa gravitazionale passiva, la massa che subisce il campo. Ma, nell'equazione che della gravitazione di Newton, le due masse giocano un ruolo simmetrico.